Question

若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）在它們的公共定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：
f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）﹣g（x）的極值；
（II）函數(shù)f（x）和g（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x²﹣2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x﹣ =（2x²﹣2c）/x= 
令F′（x）=0，得x= ，
當0＜x＜ 時，F(xiàn)′（x）＜0，
X＞ 時，F(xiàn)′（x）＞0
故當x= 時，F(xiàn)（x）取到極小值，極小值是0
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x= 處有公共點，
因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，
設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e=k（x﹣ ），即y=kx﹣k +e
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x²﹣kx﹣k+e，
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x²﹣kx+k ﹣e≥0
當x∈R恒成立，則△=k²﹣4k +4e=（k﹣2 ）²≤0，只有k=2 ，
此時直線方程為：y=2 x﹣e，
下面證明g（x）≤2 x﹣e^exx＞0時恒成立
令G（x）=2x﹣e﹣g（x）=2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）=2 ﹣ =（2 x﹣2c）/x=2 （x﹣ ）/x，
當x= 時，G′（X）=0，
當0＜x＜ 時G′（X）＞0，
則當x= 時，G（x）取到最小值，極小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2 x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2 x﹣e當x＞0時恒成立．
∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2 x﹣e