Question

（09年山東質檢）（14分）

已知函數(shù)

   （I）求曲線處的切線方程；

   （Ⅱ）求證函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)e≈2.7，≈1.6，e^0.3≈1.3）

   （III）當試求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ），………………………………1分

又，

處的切線方程為

………………………3分

（Ⅱ），

…………………………………………4分

令，

則上單調遞增，

上存在唯一零點，上存在唯一的極值點………6分

取區(qū)間作為起始區(qū)間，用二分法逐次計算如下

區(qū)間中點坐標	中點對應導數(shù)值	取區(qū)間
			1
			0.6
			0.3

由上表可知區(qū)間的長度為0.3，所以該區(qū)間的中點，到區(qū)間端點距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個極值點的相應x的值。

取得極值時，相應………………………9分

（Ⅲ）由，

即，

，………………………………………11分

令

令

上單調遞增，

，

因此上單調遞增，

則，

的取值范圍是………………………………………14分