Question

選修4--1：幾何證明選講
如圖，D為△ABC的BC邊上的一點，⊙O₁經(jīng)過點B、D，交AB于另一點E，⊙O₂經(jīng)過點C、D，交AC于另一點F，⊙O₁、⊙O₂交于點G．求證：
（1）∠BAC+∠EGF=180°；
（2）∠EAG=∠EFG．

Answer 1

解：（1）連接GD，
∵四邊形BDGE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠EGD+∠B=180°，同理可得∠FGD+∠C=180°，
∴∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，
∵∠EGD+∠FGD+∠EGF=360°，
∴∠B+∠C=∠EGF
∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC+∠EGF=180°．
（2）∵四邊形AEGF中，∠BAC+∠EGF=180°．
∴四邊形AEGF是圓內(nèi)接內(nèi)接四邊形，
設外接圓為圓M，則圓M中∠EAG和∠EFG同對弧EG
∴∠EAG=∠EFG．
分析：（1）連接GD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠EGD與∠B互補，∠FGD與∠C互補，從而∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，結合周角也等于360°，得到∠B+∠C=∠EGF，最后結合三角形內(nèi)角和定理，得到∠BAC+∠EGF=180°．
（2）由（1）的結論，得到四邊形AEGF是圓內(nèi)接內(nèi)接四邊形，結合同弧所對的圓周角相等，得到∠EAG=∠EFG．
點評：本題以三角形內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形為例，考查了與圓有關的角相等和角互補的證明，屬于基礎題．