Question

已知圓C：x²+y²-4y-12=0
（1）求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；
（2）求直線l：y=2x-3被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)P（4，1）向圓C引切線，求切線方程．

Answer 1

分析：（1）把圓C：x²+y²-4y-12=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；
（2）利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，求直線l：y=2x-3被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)；
（3）分兩種情況考慮：當(dāng)滿(mǎn)足題意的切線方程的斜率不存在時(shí)，顯然x=-1滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程的斜率為k，由P的坐標(biāo)和k表示出切線的方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，確定出此時(shí)切線的方程，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的切線方程．

解答：解：（1）由圓的方程x²+y²-4y-12=0可得x²+（y-2）²=16．
∴圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為4．
（2）直線l：y=2x-3被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)與圓的半徑弦心距滿(mǎn)足勾股定理；
∴|AB|=2×

42-( |2+3| 22+12 )2

=2

11

．
（3）當(dāng)過(guò)P的圓C的切線方程的斜率不存在時(shí)，顯然x=4滿(mǎn)足題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，
∴切線方程為y-1=k（x-4），即kx-y-4k+1=0，
∴圓心C到切線的距離d=r，即

|-2-4k+1|

k2+1

=4，
解得：k=

15

8

，
此時(shí)切線方程為：

15

8

x-y-4×

15

8

+1=0，即15x-8y-52=0，
綜上，滿(mǎn)足題意的切線方程為x=4或15x-8y-52=0、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．