Question

已知m＞0且m≠1函數(shù)f（x）=logm

x-3

x+3

（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若m=

1

2

，當(dāng)x∈[5，9]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）令

x-3

x+3

＞0，解不等式可求函數(shù)的定義域
（2）檢驗(yàn)f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0可判斷
（3）由題意可得f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)，利用函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的最值

解答：解：（1）令

x-3

x+3

＞0，可得x＞3或x＜-3
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜-3}
（2）f（x）為奇函數(shù)
證明：∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞3或x＜-3}
∵f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）解：m=

1

2

時(shí)，f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)
由于函數(shù)t=1+

-6

x +3

在定義域[5，9]上單調(diào)遞增，而y=log

1

2

t為單調(diào)遞減函數(shù)
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)在[5，9]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（9）=1，f（x）_max=f（5）=2
函數(shù)f（x）的值域[1，2]

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的定義域、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的判斷及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值