【題目】如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)利用三角形中位線和可證得,證得四邊形為平行四邊形,進(jìn)而證得,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)取中點(diǎn),可證得平面,得到平面的法向量;再通過(guò)向量法求得平面的法向量,利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值,進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.
(1)連接,
,分別為,中點(diǎn) 為的中位線
且
又為中點(diǎn),且 且
四邊形為平行四邊形
,又平面,平面
平面
(2)設(shè),
由直四棱柱性質(zhì)可知:平面
四邊形為菱形
則以為原點(diǎn),可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
則:,,,D(0,-1,0)
取中點(diǎn),連接,則
四邊形為菱形且 為等邊三角形
又平面,平面
平面,即平面
為平面的一個(gè)法向量,且
設(shè)平面的法向量,又,
,令,則,
二面角的正弦值為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其圖像相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為,且有一條對(duì)稱軸為直線,則下列判斷正確的是 ( )
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=ex﹣ax2﹣2x+b(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a,b∈R).
(Ⅰ)設(shè)f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:當(dāng)a>0時(shí),f′(x)的最小值小于0;
(Ⅱ)若a<0,f(x)>0恒成立,求符合條件的最小整數(shù)b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.命題“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2 <0”
B.命題“若sinx=siny,則x=y”的逆否命題為真命題
C.若命題p,¬q都是真命題,則命題“p∧q”為真命題
D.命題“若△ABC為銳角三角形,則有sinA>cosB”是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知函數(shù),,與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.
(1)求的解析式;
(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,EP交圓于E,C兩點(diǎn),PD切圓于D,G為CE上一點(diǎn)且PG=PD,連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A,作弦AB垂直EP,垂足為F.
(1)求證:BD⊥AD;
(2)若AC=BD,AB=6,求弦DE的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)直方圖求x的值,并估計(jì)該小區(qū)100戶居民的月均用電量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)從該小區(qū)已抽取的100戶居民中,隨機(jī)抽取月用電量超過(guò)250度的3戶,參加節(jié)約用電知識(shí)普及講座,其中恰有ξ戶月用電量超過(guò)300度,求ξ的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)某市供電公司數(shù)據(jù),2019年1月份市新能源汽車充電量約270萬(wàn)度,同比2018年增長(zhǎng),為了增強(qiáng)新能源汽車的推廣運(yùn)用,政府加大了充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的投入.現(xiàn)為了了解該城市充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的使用情況,隨機(jī)選取了200個(gè)駕駛新能源汽車的司機(jī)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照,,…,分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男女司機(jī)人數(shù)比為,從中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求2人均為女司機(jī)的概率.
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