（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=
33
cd
，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α1=
1
1
，屬于特征值1的一個特征向量為α2=
3
-2
．
①求矩陣A；②求直線y=x+2在矩陣A的作用下得到的曲線方程．
分析：①根據(jù)特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數(shù)法建立四個等式關(guān)系，解二元一次方程組即可．
②設(shè)直線y=x+2上任意一點(diǎn)（x0，y0），（x'，y'）是所得的直線上一點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對坐標(biāo)之間的關(guān)系，把已知的點(diǎn)的坐標(biāo)用未知的坐標(biāo)表示，代入已知直線的方程，得到結(jié)果．
解答：解：①由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為 α1=
1
1
可得
3  3
c  d
 
1
1
=6
1
1
，
即
3+3=6
c+d=6
；
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為 α2=
3
-2
，可得
3  3
c  d
 
3 
-2 
=
3 
-2 
，
即
3×3-3×2=3
3c-2d=-2

解得
c=2
d=4
，即矩陣 A=
3 3
2 4
．
②設(shè)y=x+2上一點(diǎn)（x0，y0）在A作用下變?yōu)椋▁′，y′），
則
33
24
x0
y0
=
x′
y′
，
∴
3x0+3y0
2 x0+4y0
=
x′
y′
，
∴
x′=3x0+3y0
y′=2x0+4y0
，∴
x0=
2
3
x′-
1
2
y′
y0=
1
2
y′  -
1
3
x′
，
∵y0=x0+2，代入得
1
2
y′-
1
3
x′=
2
3
x′-
1
2
y′+2，
化簡，得y′=x′+2，
∴變換后的直線方程是：y=x+2．
點(diǎn)評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查矩陣的變換，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
ab
14
，若矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α1=
3
-1
，屬于特征值5的一個特征向量為α2=
1
1
．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）在軍事密碼學(xué)中，發(fā)送密碼時，先將英文字母數(shù)學(xué)化，對應(yīng)如下表：
a b c d … z
1 2 3 4 … 26
如果已發(fā)現(xiàn)發(fā)送方傳出的密碼矩陣為
1441
32101
，雙方約定可逆矩陣為
12
34
，試破解發(fā)送的密碼．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）選做題
（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是半圓O的直徑，延長AB到C，使BC=
3
，CD切半圓于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若AE：EB=3：1，求DE的長．
（B）選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx在矩陣
01
10
對應(yīng)的變換下得到的直線經(jīng)過點(diǎn)P（4，1），求實(shí)數(shù)k的值．
（C）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=asinθ（a＞0）與直線ρcos(θ+
π
4
)=1相切，求實(shí)數(shù)a的值．
（D）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c滿足abc=1，求證：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）選修4-2：矩陣與變換
已知直線l：ax+y=1在矩陣A=
12
01
對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l′：x+by=1
（I）求實(shí)數(shù)a，b的值
（II）若點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上，且A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A=
3       5
0    -2
．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）設(shè)向量β=
   1   
-1
，求A5β．

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