Question

選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f（x）=|2-2x|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＞6；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，去掉函數(shù)f（x）=|2x-2|+|x+3|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞6．
（2）把關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求出函數(shù)f（x）的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=|2-2x|+|x+3|=

-3x-1 ， x＜-3 -x+5  ，-3≤ x＜1 3x+1 ，x≥1

，故由f（x）＞6可得|2-2x|+|x+3|＞6，
故有 ①

x＜-3 2-2x-x-3＞6

； ②

-3≤x＜1 2-2x+x+3＞6

；③

x≥1 2x-2+x+3＞6

．
解①求得x＜-3；解②求得-3≤x＜-1；解③求得x＞

5

3

．
綜上可得，不等式的解集為（-∞，-1）∪（

5

3

，+∞）．
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集不是空集，即|2-2x|+|x+3|≤|2a-1|的解集不是空集．
由（1）可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為4，即f（x）=|2x-2|+|x+3|≥4，則|2a-1|≥4，
解得：a≥

5

2

或a≤-

3

2

．
即a的取值范圍是：{a|a≥

5

2

或a≤-

3

2

}．

點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值的代數(shù)意義，去絕對值體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．