Question

已知橢圓C方程為

x2

4

+

y2

3

=1，直線(xiàn)l：y=

x

2

+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，

3

2

)，
（1）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)PA、PB斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（1）將l：y=

x

2

+m代入

x2

4

+

y2

3

=1消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，由△＞0，知-2＜m＜2．再由x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，知弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是y=-

3

2

x在橢圓內(nèi)部部分．
（2）先設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根據(jù)斜率公式k1+k2=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m- 3 2 )(x1+x2-2)- x1+x2 2

x1x2-(x1+x2)+1

即可求出結(jié)果．

解答：解：（1）將l：y=

x

2

+m代入

x2

4

+

y2

3

=1，
消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-16（4m²-12）=48（4-m²）＞0，
-2＜m＜2．
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
x0=-

m

2

，y0=

3

4

m，
∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是y=-

3

2

x在橢圓內(nèi)部部分．（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l：y=

x

2

+m上
∴k1+k2=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m- 3 2 )(x1+x2-2)- x1+x2 2

x1x2-(x1+x2)+1

=

m2-3+(m- 3 2 )(-m-2)+ m 2

m2-3+m+1

=0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn) 與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．