Question

12分）某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測(cè)量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的長(zhǎng)度；

(Ⅱ)若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）A、B兩點(diǎn)的距離為14.（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，從而得出結(jié)論．

（Ⅱ）小李的設(shè)計(jì)符合要求，因?yàn)橛蓷l件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等邊三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．

解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得

  ①

在中，由余弦定理及整理得

    ②………4分

由①②得：

整理可得 ，……………6分

又為三角形的內(nèi)角，所以,

又,,所以是等邊三角形，

故，即A、B兩點(diǎn)的距離為14.……………8分

（Ⅱ）小李的設(shè)計(jì)符合要求.理由如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313260423025997/SYS201301131327041365229991_DA.files/image015.png">…………12分

所以

考點(diǎn)：本試題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用余弦定理得到cosD的值。