Question

(19)如圖,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問與的夾角θ取何值時(shí)

·的值最大?并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

(19)本小題主要考查向量的概念,平面向量的運(yùn)算法則,考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識(shí)的能力.

解法一：∵⊥,∴·=0.

∵=－,=－,=－,

∴·=(－)·(－)

=·－·－· +·

=－a²－·+·

=－a²+·(－)

=－a²+·

=－a²+a²cosθ.

故當(dāng)cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時(shí),·最大,其最大值為0.

解法二:以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b).

且|PQ|=2a,|BC|=a.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(－x,－y).

∴=(x－c,y), =(－x,－y－b), =(－c,b),=(－2x,－2y).

∴·=(x－c)(－x)+y(－y－b)=－(x²+y²)+cx－by.

∵cosθ==,

∴cx－by=a²cosθ.

∴·=－a²+a²cosθ.

故當(dāng)cosθ=1,即θ=0(PQ與BC方向相同)時(shí), ·最大,其最大值為0.