Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）若x∈(-

π

6

，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的降次公式進行化簡，得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，計算出ω的值，得到函數(shù)的表達式，最后根據(jù)函數(shù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間的結論，可以求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規(guī)律，得到變換后函數(shù)y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+

5π

6

），然后根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性的結論，可得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的值域，從而得到y(tǒng)=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)
∴利用三角函數(shù)的降次公式，得f（x）=

3

sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=π
∴2ω=2，可得函數(shù)f（x）的解析式為：y=2sin（2x+

π

6

）
令

π

2

+2kπ＜2x+

π

6

＜

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ＜x＜

2π

3

+kπ，其中k是整數(shù)，
∵x∈(-

π

6

，π]，
∴取k=0，得x∈(

π

6

，

2π

3

)
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(

π

6

，

2π

3

)；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，
所得函數(shù)解析式為：y=2sin（4x+

π

6

）
再把所得到的圖象再向左平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin[4（x+

π

6

）+

π

6

]=2sin（4x+

5π

6

）
∵函數(shù)y=g（x）定義在區(qū)間[0，

π

8

]上，
∴4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]⇒sin

4π

3

≤sin（4x+

5π

6

）≤sin

5π

6

即-

3

2

≤sin（4x+

5π

6

）≤

1

2

∴函數(shù)y=g（x）的值域為[-

3

，1]，函數(shù)的最小值為-

3

．

點評：本題以一個特殊的三角函數(shù)為例加以研究，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)和三角函數(shù)的最值等知識點，屬于中檔題．