Question

【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：AD⊥D1F;

(Ⅱ)求AE與D1F所成的角;

(Ⅲ)證明：面AED⊥面A1FD1.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析(Ⅱ) 900(Ⅲ)詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：求解時(shí)可采用空間向量的方法，(Ⅰ)中可通過(guò)證明直線的方向向量垂直得到直線垂直；(Ⅱ)通過(guò)求直線的方向向量的夾角求解異面直線所成角；(Ⅲ)首先求解兩平面的法向量，由法向量垂直證明平面垂直

試題解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1…………………………………1分

則有A（1,0，0），E（1，2，），F(xiàn)（0，，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1）……2分

(Ⅰ)，∴AD⊥D1F………………………4分

(Ⅱ)，∴AE⊥D1F

AE與D1F所成的角為900…………………………………………………………………7分

(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)知：AD⊥D1F，AE⊥D1F，又ADAE=A,

所以 D1F⊥平面AED，又D1F在平面A1FD1內(nèi)，

所以面AED⊥面A1FD1……………………………………………………………………12分