Question

如圖，已知曲線C：y=x²（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1）．取線段OQ的中點(diǎn)A₁，過A₁作x軸的垂線交曲線C于P₁，過P₁作y軸的垂線交RQ于B₁，記a₁為矩形A₁P₁B₁Q的面積．分別取線段OA₁，P₁B₁的中點(diǎn)A₂，A₃，過A₂，A₃分別作x軸的垂線交曲線C于P₂，P₃，過P₂，P₃分別作y 軸的垂線交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，記a₂為兩個(gè)矩形A₂P₂B₂A₁與矩形A₃P₃B₃B₁的面積之和．以此類推，記a_n為2^n-1個(gè)矩形面積之和，從而得數(shù)列{a_n}，設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ） 求a₂與a_n；
（Ⅱ） 求S_n，并證明S_n＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I） 由題意知P₁（

1

2

，(

1

2

)2），由此能求出a₂，再利用裂項(xiàng)求和法和分組求和法能注出a_n．
（Ⅱ） 由（I）知a_n=

1

2n+1

-

1

22n+1

，求出S_n，對(duì)任意的n∈N^*，有3×2ⁿ-1＞0，由此能證明S_n＜

1

3

．

解答：解：（I） 由題意知P₁（

1

2

，(

1

2

)2），
∴a₁=

1

2

×(

1

2

)2=

1

8

．
又∵P₂（

1

22

，(

1

22

)2），P₃（

3

22

，(

3

22

)2），
∴a₂=

1

22

×[(

1

22

)2+(

3

22

)2-(

2

22

)2]=

1

26

×（1²+3²-2²）=

3

32

．
由題意，對(duì)任意的k=1，2，3，…，n，
有P2k-1+i（

2i+1

2k

，(

2i+1

2k

)2），i=0，1，2，…，2^k-1-1，
∴a_n=

1

2n

×[(

1

2n

)2+(

3

2n

)2-(

2

2n

)2+(

5

2n

)2-(

4

2n

)2+…+(

2n-1

2n

)2-(

2n-2

2n

)2]
=

1

23n

×[1²+3²-2²+5²-4²+…+（2ⁿ-1）²-（2ⁿ-2）²]
=

1

23n

×{1+（4×1+1）+（4×2+1）+…+[4×（2^n-1-1）+1]}
=

1

23n

×

[1+4×(2n-1-1)+1]×2n-1

2

=

2n-1

22n+1

．
∴a₂=

3

32

，a_n=

2n-1

22n+1

，n∈N^*．
（Ⅱ） 由（I）知a_n=

1

2n+1

-

1

22n+1

，n∈N*，
∴S_n=

1 4 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

1 8 ×(1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

2

×(1-

1

2n

)-

1

6

×(1-

1

4n

)
=

22n+1-3×2n+1

3×22n+1

．
又對(duì)任意的n∈N^*，有3×2ⁿ-1＞0，
∴S_n=

1

3

-

3×2n-1

3×22n+1

＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念與求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．