【題目】當(dāng)今世界科技迅猛發(fā)展,信息日新月異.為增強全民科技意識,提高公眾科學(xué)素養(yǎng),某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來”為主題的系列活動,并對不同年齡借閱者對科技類圖書的情況進(jìn)行了調(diào)查.該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機抽取100名,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
借閱科技類圖書(人) | 借閱非科技類圖書(人) | |
年齡不超過50歲 | 20 | 25 |
年齡大于50歲 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān)?
(2)該圖書館為了鼓勵市民借閱科技類圖書,規(guī)定市民每借閱一本科技類圖書獎勵積分2分,每借閱一本非科技類圖書獎勵積分1分,積分累計一定數(shù)量可以用積分換購自己喜愛的圖書.用表中的樣本頻率作為概率的估計值.
(i)現(xiàn)有3名借閱者每人借閱一本圖書,記此3人增加的積分總和為隨機變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)現(xiàn)從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人,則借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【答案】(1)有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān);(2)(i)分布列詳見解析,數(shù)學(xué)期望為3.9;(ii)5人.
【解析】
(1)根據(jù)K2的表達(dá)式代入計算即可判斷;
(2)(i)由題知借閱科技類圖書的概率P,若這3人增加的積分總和為隨機變量ξ,分別計算出P(ξ=3),P(ξ=4),P(ξ=5),P(ξ=6),即可得到分布列及期望;
(ii)根據(jù)題意得隨機變量X滿足X~B(16,)的二項分布,列出不等式組,解出即可
解:(1)K28.129>6.635,
所以有99%的把握認(rèn)為年齡與借閱科技類圖書有關(guān);
(2)(i)因為用表中的樣本頻率作為概率的估計值,所以借閱科技類圖書的概率P,
因為3名借閱者每人借閱一本圖書,這3人增加的積分總和為隨機變量ξ,
所以隨機變量ξ的可能取值為3,4,5,6,
P(ξ=3)
P(ξ=4)
P(ξ=5)
P(ξ=6),
從而ξ的分布列為:
ξ | 3 | 4 | 5 | 6 |
P |
所以E(ξ)=34563.9;
(ii)記16人中借閱科技類圖書的人數(shù)為X,則隨機變量X滿足二項分布X~B(16,)
設(shè)借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)時k(k=0,1,2,……,16)
則,
而,,
解得4.1≤k≤5.1,
故k=5,
所以16人借閱科技類圖書最有可能的人數(shù)是5人
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,元素成為集合的特征元素,對于中的元素與,定義:.當(dāng)時,若a是集合中的非特征元素,則的概率為___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為,().
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于不同的兩點,,指出的范圍,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,左右頂點分別為,,上頂點為,
(1)求橢圓離心率;
(2)點到直線的距離為,求橢圓方程;
(3)在(2)的條件下,點在橢圓上且異于、兩點,直線與直線交于點,說明運動時以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過雙曲線C:1(a>0,b>0)右焦點F2作雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為P,與雙曲線交于點A,若 ,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關(guān)鍵的一年.在國家高度重視,重拳出擊的前提下,高強度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時間,打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”,“全民戰(zhàn)”.某市做了一項調(diào)查,在一所城市中學(xué)和一所縣城中學(xué)隨機各抽取15名學(xué)生,對垃圾分類知識進(jìn)行問答,滿分為100分,他們所得成績?nèi)缦拢?/span>
城市中學(xué)學(xué)生成績分別為:73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85
縣城中學(xué)學(xué)生成績分別為:60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72
(1)根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學(xué)學(xué)生成績的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩所中學(xué)學(xué)生成績的平均分及分散程度;(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可)
(2)從城市中學(xué)成績在80分以上的學(xué)生中抽取4名,記這4名學(xué)生的成績在90分以上的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超級細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對它起不到什么作用,病人會因為感染而引起可怕的炎癥,高燒,痙攣,昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌,需要檢驗血液是否為陽性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個樣本取到的可能性相等,有以下兩種檢驗方式:(1)逐份檢驗,則需要檢驗n次;(2)混合檢驗,將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗,若檢驗結(jié)果為陰性,則這份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了;如果檢驗結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對這k份血液再逐份檢驗,此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p().現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為.
(1)運用概率統(tǒng)計的知識,若,試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P與抗生素計量相關(guān),其中,,…,()是不同的正實數(shù),滿足,對任意的(),都有.
(i)證明:為等比數(shù)列;
(ii)當(dāng)時,采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,,,,
,,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,,為自然對數(shù)的底數(shù).
若,,①若函數(shù)單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;②若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
若,且存在兩個極值點,,求證:.
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