Question

對(duì)n∈N^*，不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，把D_n內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成點(diǎn)列：(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₄)，…，(x_n,y_n)

(Ⅰ)求x_n，y_n；

(Ⅱ)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=x₁，且n≥2時(shí)a_n=().證明當(dāng)n≥2時(shí),；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，試比較(1+)·(1+)·(1+)…(1+)與4的大小關(guān)系.

Answer 1

解：(Ⅰ)-nx+2n＞0x＜2,又x＞0且x∈N^*,∴x=1 

故D_n內(nèi)的整點(diǎn)都落在直線(xiàn)x=1上且y≤n,故D_n內(nèi)的整點(diǎn)按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成的點(diǎn)列為：(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,n),∴x_n=1,y_n=n.

(Ⅱ)證：當(dāng)n≥2時(shí),由a_n=,

得,即=①

∴② 

②式減①式,有,得證. 

(Ⅲ)解：當(dāng)n=1時(shí),l+=2＜4；當(dāng)n=2時(shí),(1+)(1+)=2×＜4,

由(Ⅱ)知,當(dāng)n≥2時(shí),

∴當(dāng)n≥3時(shí),

=(1+a_n)

=

∵(n≥2),

∴上式＜2[1+(1)]=2(2)=4＜4,

∴(1+)·(1+)·(1+)…(1+)＜4.