Question

（本小題10分）

已知線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，且∣AB∣=2.

   （1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；

   （2）求過點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程.

Answer 1

（本小題10分）

解: (1) 方法一：設(shè)P(x , y ),   

 ∵∣AB∣=2,且P為AB的中點(diǎn)，

    ∴∣OP∣=1                 ……………………2分

    ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=1.  ……………………5分

 方法二：設(shè)P(x , y )， ∵P為AB的中點(diǎn)，

∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ),         ………………………2分

  又∵∣AB∣=2

   ∴(2x)²+(2y)²=2              ………………………4分

   化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x²+y²=1. ……………5分

 (2) ①當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=1,

       由條件易得  x=1符合條件;     ………………7分

②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為 y-2=k(x-1)

  即kx-y+2-k=0

  由

得k=,

∴切線方程為y-2= (x-1)

即 3x-4y+5=0

綜上，過點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程為：

x=1  或3x-4y+5=0      ……………………10分