Question

給出下列五個命題：
①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²≤0”；
②若等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

）共線；
③若函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b，x∈[a，b]的圖象關于直線x=1對稱，則f（x）的最大值為30；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，則△ABC一定是等腰三角形；
⑤函數(shù)||x-1|-|x+1||≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
其中假命題的序號是

①④

．（填上所有假命題的序號）

Answer 1

分析：①利用全稱命題的否定是特稱命題去判斷．②利用三點共線的條件判斷．③利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．④利用兩角和差的三角公式進行化簡．⑤利用絕對值的幾何意義判斷．

解答：解：①因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²＜0”，所以①錯誤．
②在等差數(shù)列中，

Sn

n

=a1+

(n-1)d

2

，所以

S10

10

=a1+

9

2

d，

S100

100

=a1+

99

2

d，

S110

110

=a1+

109

2

d，所以對應三點A（10，

S10

10

），B（100，

S100

100

），C（110，

S110

110

）的向量為

AB

=(90，45d)，

BC

=(10，5d)，所以

AB

=9

BC

，即

AB

，

BC

共線，所以A，B，C三點共線，所以②正確．
③因為函數(shù)的對稱軸為x=1，所以-

a+2

2

=1，解得a=-4，此時b=6，所以f（x）=x²-2x+6=（x-1）²+5，所以當x=-4或x=6時，有最大值30，所以③正確．
④由cos（2B+C）+2sinAsinB=0得cos（B+π-A）+2sinAsinB=0，所以-cos（B-A）+2sinAsinB=0，即-cosAcosB+sinAsinB=0，所以cos（A+B）=0，即cosC=0，所以c=90°，故△ABC一定是直角三角形，所以④錯誤．
⑤因為||x-1|-|x+1||的最大值為2，所以要使函數(shù)||x-1|-|x+1||≤a恒成立，則a≥2，所以⑤正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷，綜合性較強．