已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線．求直線是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由。

（1）；（2）直線恒過定點．

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質(zhì)、直線的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達定理等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，利用點在橢圓上和離心率得到方程組，解出a和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，需要對直線MN的斜率是否存在進行討論，（�。┤舸嬖邳cP在MN上，設(shè)出直線MN的方程，由于直線MN與橢圓相交，所以兩方程聯(lián)立，得到兩根之和，結(jié)合中點坐標公式，得到直線MN的斜率，由于直線MN與直線垂直，從而得到直線的斜率，因為直線也過點P，寫出直線的方程，經(jīng)過整理，即可求出定點，（ⅱ）若直線MN的斜率不存在，則直線MN即為，而直線為x軸，經(jīng)驗證直線，也過上述定點，所以綜上所述，有定點．
（1）因為點在橢圓上，所以， 所以，        1分
因為橢圓的離心率為，所以，即，      2分
解得，  所以橢圓的方程為．        4分
（2）設(shè)，，
①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
由得，
所以， 因為為中點，所以，即．
所以，                  8分
因為直線，所以，所以直線的方程為，
即 ，顯然直線恒過定點．    10分
②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過點．                 
綜上所述直線恒過定點．    12分
考點：橢圓的標準方程以及幾何性質(zhì)、直線的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達定理．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且．直線與橢圓交于不同兩點、(，都在軸上方) ，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線C：離心率是，過點，且右支上的弦過右焦點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦的中點的軌跡E的方程；
（3）是否存在以為直徑的圓過原點O？,若存在，求出直線的斜率k 的值．若不存在，則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C1：-y2=1,曲線C2：|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點.若存在過點P的直線與C1,C2都有共同點,則稱P為“C1-C2型點”.

(1)在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證).
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C1-C2型點”.
(3)求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離為，到軸的距離為，且．
（1）求點的軌跡的方程；
（2） 若直線斜率為1且過點，其與軌跡交于點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè):的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設(shè)是的一個交點.

(1)當(dāng)時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•浙江）如圖，點P（0，﹣1）是橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑，l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點，l2交橢圓C1于另一點D．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）求△ABD面積的最大值時直線l1的方程．

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同步練習(xí)冊答案