Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)出F，由直線AF的斜率為，求得c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得|PQ|，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到l的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出k值，則直線方程可求．

試題解析：

(1)設(shè)，解得，又， 橢圓.

(2)當(dāng)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立，得，由，得，即或， ，從而 ，又點(diǎn)到直線 的距離的面積，設(shè)，則，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，且，此時(shí).