Question

已知實系數(shù)一元二次方程x²+px+q=0的兩根分別為x₁，x₂．
（1）若上述方程的一個根x₁=4-i（i為虛數(shù)單位），求實數(shù)p，q的值；
（2）若方程的兩根滿足|x₁|+|x₂|=2，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，另一個根為4+i，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出p和q 的值．
（2）對根的判別式分情況討論：①當△=p²-4q＜0時，方程的兩根為虛數(shù)，②當△=p²-4q≥0時，方程的兩根為實數(shù)，再利用結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系及根的分布求解即可．

解答：解：（1）根據(jù)“實系數(shù)方程虛根共軛成對出現(xiàn)”，知x₂=4+i，…2分
根據(jù)韋達定理，知p=-（x₁+x₂）=-8；q=x₁•x₂=17．…2分
（2）①當△=p²-4q＜0時，方程的兩根為虛數(shù)，且x1=

.

x2

，
∴|x₁|=|x₂|=1，∴q=1．∴p=-（x₁+x₂）=-2Re（x₁）∈[-2，2]，
又根據(jù)△=p²-4q＜0，∴p∈（-2，2）．…3分
②（法一）當△=p²-4q≥0時，方程的兩根為實數(shù)，
（2-1）當q＞0時，方程的兩根同號，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）當q=0時，方程的一根為0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）當q＜0時，方程的兩根異號，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2，
∴4=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=p²-4q，
∴p²=4+4q∈[0，4），∴p∈（-2，2）．
∴當△≥0時，p∈[-2，2]．…3分
綜上，p的取值范圍是[-2，2]．
（法二）當△=p²-4q≥0時，方程的兩根為實數(shù)，
∴|p|=|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|=2，當x₁與x₂同號或有一個為0時等號取到．
特別的，取x₁=2，x₂=0時p=-2；取x₁=-2，x₂=0時p=2．
∴p∈[-2，2]．…3分
綜上，p的取值范圍是[-2，2]．

點評：本題考查實系數(shù)多項式虛根成對定理，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，復數(shù)求模，判斷另一個根為4+i，是解題的關(guān)鍵．