Question

如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線 l 在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)MA⊥MB時(shí)，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
則，∴a²=8，b²=2
∴橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）依題意，…（7分）
可設(shè)直線l的方程為：y=，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
，
∵M(jìn)A⊥MB，∴，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0
∴x₁x₂+（）（x₁+x₂）+m²-2m+5=0…①
由y=代入橢圓方程，消y并整理化簡(jiǎn)得：x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜2…（10分）
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4代入①得：（2m²-4）+（）×（-2m）+m²-2m+5=0…①
解得m=0或m=-…（12分）
∵點(diǎn)A，B異于M，∴m=-…（13分）
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）依題意，設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，整理并利用韋達(dá)定理，結(jié)合MA⊥MB，即，從而可求m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中等題．