已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R),且函數(shù)f(x)的圖象關于原點
對稱,其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在區(qū)間[m,n],使得函數(shù)g(x)的定義域和值域均為[m,n],且其解析式為f(x)的解析式?若存在,求出這樣一個區(qū)間[m,n];若不存在,則說明理由.

解:(1)∵f(x)的圖象關于原點對稱,
∴f(-x)+f(x)=0恒成立,
即2bx2+2d=0,∴b=d=0
又f(x)的圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0,
即y-6=8(x-3),
∴f'(3)=8,且f(3)=6.而f(x)=ax3+cx,
∴f'(x)=3ax2+c

故所求的解析式為
(2)解
又f'(x)=x2-1,由f'(x)=0得x=±1,
且當時,f'(x)>0;
當x∈(-1,1)時f'(x)<0.
遞增;在[-1,1]上遞減
上的極大值和極小值分別為

故存在這樣的區(qū)間[m,n],其中一個區(qū)間為
分析:(1)根據(jù)題意,f(-x)+f(x)=0恒成立,利用比較系數(shù)法可得b=d=0,然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義,得出f'(3)=8且f(3)=6,聯(lián)解方程組可得a、c的值,最終可得f(x)的解析式;
(2)用直線y=x與函數(shù)y=f(x)聯(lián)解,得出交點橫坐標為,根據(jù)題意得出[m,n]可能的區(qū)間為.然后利用導數(shù)來研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得出其單調(diào)區(qū)間后,分別討論它在各區(qū)間上的值域,對照題意可得符合條件的區(qū)間為
點評:本題考查了函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和導數(shù)的幾何意義等知識點,屬于中檔題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
(-∞,-2)

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)>3

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