Question

（2010•合肥模擬）已知a是函數(shù)f（x）=x-1的零點，b=lg4+2lg5+3，正數(shù)m，n滿足m+n=2，則

a

m

+

b

n

的最小值為

3+

5

．

Answer 1

分析：先根據(jù)零點的概念和對數(shù)的運算律，求出a，b的值，化簡

a

m

+

b

n

，因為m+n=2，把

a

m

+

b

n

乘2再除2，展開，即可用均值不等式求最小值．

解答：解：∵a是函數(shù)f（x）=x-1的零點，∴a=1，，
b=lg4+2lg5+3=lg4+lg25+3=lg（4×25）+3=2+3=5
∴

a

m

+

b

n

=

1

m

+

5

n

=（

1

m

+

5

n

）×2×

1

2

=

( 1 m + 5 n )×2

2

=

( 1 m + 5 n )×(m+n)

2

=

1+ n m + 5m n +5

2

=

n m + 5m n +6

2

∵m，n均為正數(shù)，∴

n

m

+

5m

n

≥2

n m • 5m n

=2

5

∴

n m + 5m n +6

2

≥

6+2 5

2

=3+

5

當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

5m

n

，即5m²=n²時，等號成立．
∴

a

m

+

b

n

的最小值為3+

5

故答案為3+

5

點評：本題主要考查應(yīng)用均值不等式求和的最小值，關(guān)鍵是判斷積是否為定值，如不是，想辦法湊積為定值，應(yīng)用均值不等式時一定要判斷條件是否具備．