Question

（文科）對于二項式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*），4位同學(xué)作出了4種判斷：①存在n∈N^*，使展開式中沒有常數(shù)項；②對任意n∈N^*，展開式中沒有常數(shù)項；③對任意n∈N^*，展開式中沒有x的一次項；④存在n∈N^*，使展開式中有x的一次項．上述判斷中正確的是

①④

．

Answer 1

分析：利用其項T_r+1=

C

r n

•x^4r-n對①②③④逐個分析，即可得到答案．

解答：解：設(shè)二項式（

1

x

+x3）ⁿ（n∈N^*）的通項為T_r+1，
則T_r+1=

C

r n

•x^r-n•x^3r=

C

r n

•x^4r-n．
顯然存在1∈N^*，使展開式中沒有常數(shù)項；故①正確；
不妨令n=4，r=1，展開式中有常數(shù)項，故②錯誤；
再令n=3，r=1，則T₂=

C

1 3

x=3x，故③錯誤，而④正確．
綜上所述，判斷中正確的是①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查二項式定理，關(guān)鍵在于合理利用其通項公式進行綜合分析，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．