Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點(diǎn)M在AB上，且AM=，點(diǎn)P是平面ABCD上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離與動點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，則動點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．圓
B．拋物線
C．雙曲線
D．直線

Answer 1

【答案】分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D₁A₁，PR即為點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離，由勾股定理得 PR²-PQ²=RQ²=1，又已知PR²-PM²=1，PM=PQ，即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離．
解答：解：如圖所示：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁  中，作PQ⊥AD，Q為垂足，則PQ⊥面ADD₁A₁，過點(diǎn)Q作QR⊥D₁A₁，
則D₁A₁⊥面PQR，PR即為點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離，由題意可得 PR²-PQ²=RQ²=1．
又已知 PR²-PM²=1，∴PM=PQ，即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離，根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，
故選 B．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，求點(diǎn)的軌跡方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，得到PM=PQ是解題的關(guān)鍵．