Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的動直線L交橢圓C于A．B兩點(diǎn)．問：是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T ? 若存在，求點(diǎn)T坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由

因直線相切，

，∴，………………2分

∵圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角

       形，∴                                     ………………4分

       故所求橢圓方程為                            ………………5分

    （Ⅱ）當(dāng)L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當(dāng)L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：

由

即兩圓公共點(diǎn)（0， 1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）               ………………7分

       （�。┊�(dāng)直線L斜率不存在時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）

       （ⅱ）若直線L斜率存在時，可設(shè)直線L：

由

       記點(diǎn)．           ………………9分

      

        

                  

       ∴TA⊥TB,                                             ………………11分

綜合（�。�（ⅱ），以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）．           ……………12分

 

【解析】略