Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A，B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地．視冰川面為平面形，以過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖）．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)

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km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)4

5

km的區(qū)域．
（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）如圖所示，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)x≥2時(shí)，(x-4)2+y2=

36

5

．當(dāng)x＜2時(shí)，

x2

20

+

y2

4

=1．由此能得到考查區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線為l₁，過(guò)點(diǎn)P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為y=

3

x+14，y=6．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為y=

3

x+m，代入橢圓方程

x2

20

+

y2

4

=1，消去y，得16x2+10

3

mx+5(m2-4) =0，然后由根的判別式和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)邊界曲線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≥2時(shí)，由題意知(x-4)2+y2=

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5

．
當(dāng)x＜2時(shí)，由|PA|+|PB|=4

5

知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4

5

的橢圓上．此時(shí)短半軸長(zhǎng)b=

(2 5 )2-42

=2．因而其方程為

x2

20

+

y2

4

=1．
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為C1：(x-4)2+y2=

36

5

(x≥2)和C2：

x2

20

+

y2

4

=1(x＜2)．


（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P₁，P₂的直線為l₁，過(guò)點(diǎn)P₂，P₃的直線為l₂，則直線l₁，l₂的方程分別為y=

3

x+14，y=6．
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為y=

3

x+m，代入橢圓方程

x2

20

+

y2

4

=1，消去y，得
16x2+10

3

mx+5(m2-4) =0，
由△100×3m²-4×16×5（m²-4）=0，
解得m=8或m=-8．
從圖中可以看出，當(dāng)m=8時(shí)，直線l與C₂的公共點(diǎn)到直線l的距離最近，此時(shí)直線l的方程為y=

3

x+8，l與l₁之間的距離為d=

|14-8|

1+3

=3．
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離d′=6-

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，而d'＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設(shè)冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，
得

0.2(2n-1)

2-1

≥3，所以n≥4．
故冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合的合理運(yùn)用．