已知定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,且g(x)在x=1處取得極值.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)在x=2處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線C1向上平移6個(gè)單位后得到曲線C2,求C2與g(x)對(duì)應(yīng)曲線C3的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
作答時(shí),用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.
分析:(I)表示出函數(shù)g(x)后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo),將x=1代入導(dǎo)數(shù)g'(x)即可得到答案.欲求在點(diǎn)x=2處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問(wèn)題解決.
(II)先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間.
(III)表示出C2的解析式,h1(x),轉(zhuǎn)化為求h1(x)與g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
解答:解:(I)g(x)=x2-af(x)=x2-alnx,g′(x)=2x-
a
x
,g'(1)=2-a=0
∴a=2經(jīng)檢驗(yàn)a=2成立
又g(2)=4-2ln2,g'(2)=3,∴y-4+2ln2=3(x-2)
即函數(shù)g(x)在x=2處的切線方程:3x-y-2-2ln2=0
(II)h(x)=x-2
x
,定義域[0,+∞)h′(x)=1-
1
x
,
h′(x)=1-
1
x
>0
,得x>1;令h′(x)=1-
1
x
<0
得0<x<1,
∴函數(shù)h(x)單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).
(III)由(1)知g(x)=x2-2lnx,h(x)=x-2
x
,定義域[0,+∞)
∴C2對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為h1(x)=x-2
x
+6
,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=x2-2lnx與h1(x)=x-2
x
+6
圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,故只需求方程x2-2lnx=x-2
x
+6
,即2
x
-2lnx=-x2+x+6
根的個(gè)數(shù)
設(shè)h2(x)=2
x
-2lnx
,h3(x)=-x2+x+6,h2(x)=
1
x
-
2
x
=
x
(
x
-2)
x
x
=
x
-2
x

當(dāng)x∈(0,4),h2(x)<0,h2(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(4,+∞),h2(x)>0,h2(x)為增函數(shù),而h3(x)=-x2+x+6=-(x-
1
2
)2+
25
4
,圖象是開(kāi)口向下的拋物線,作出函數(shù)h2(x)與h3(x)的圖象,h3(
1
2
)=
25
4
,而h2(
1
2
)=
2
-2ln
1
2
=
2
+2ln2<h3(
1
2
)
可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè),即曲線C2與C3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的增減區(qū)間的問(wèn)題.這里要熟記各種函數(shù)的求導(dǎo)法則,用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)fˊ(x);(3)在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0;(4)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù),往往要分類討論.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),對(duì)一切x、y>0,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x>0時(shí),f(x)<0.
(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
(2)f(2)=-
12
時(shí),解不等式f(ax+4)>-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,對(duì)于滿足0<x1<x2<1的任意x1、x2,給出下列結(jié)論:
①f(x2)-f(x1)>x2-x1;
②x2f(x1)>x1f(x2);
f(x1)+f(x2)
2
<f (
x1+x2
2
).
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=
(4k-1)ln
1
x
,x∈(0 , e]
kx2-kx,x∈(e , +∞)
是增函數(shù)
(1)求常數(shù)k的取值范圍
(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與f(x)(x∈(e,+∞))的圖象有交點(diǎn),求該直線的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意正數(shù)x,都有f[f(x)-
1
x
]=2,則f(
1
5
)=( 。

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