Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一點P，使得

AP

=λ

PA1

，
當(dāng)二面角A-B₁C₁-P的大小為30°時，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（I）點C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，求出三棱錐C-A₁B₁C₁的底面積及高，代入三棱錐體積公式即可得到三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出直線BD₁的方向向量及平面ADB₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面B₁C₁P的法向量，結(jié)合（2）中平面ADB₁的法向量，及已知中二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于實數(shù)λ的方程，解方程，即可求出實數(shù)λ的值．

解答：解：（I）在Rt△A₁AD中，∠A₁AD=90°，A₁A=2，AD=1，∴A1D=

3

．（1分）
注意到點C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，
所以V=

1

3

×

1

2

×A1B1×B1C1×A1D=

3

6

．（3分）
（II）以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(0，0，

3

)，B1(0，1，

3

)，D1(-1，0，

3

)，C1(-1，1，

3

)，（5分）∴

BD1

=(-2，-1，

3

)，

DA

=(1，0，0)，

DB1

=(0，1，

3

)，
設(shè)平面ADB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
由

m • DA =0 m • DB1 =0

得平面ADB₁的一個法向量為

m

=(0，-

3

，1)，（7分）
記直線BD₁與平面ADB₁所成的角為α，則sinα=|

BD1 • m

| BD1 |•| m |

|=

6

4

，
所以直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值為

6

4

．（8分）
（III）∵

AP

=λ

PA1

，∴P(

1

1+λ

，0，

3 λ

1+λ

)，
又

B1C1

=(-1，0，0)，

B1P

=(

1

1+λ

，-1，-

3

1+λ

)，
設(shè)平面B₁C₁P的法向量

n

=(a，b，c)，
由

n • B1C1 =0 n • B1P =0

得平面B₁C₁P的一個法向量為

n

=(0，-

3

1+λ

，1)，（10分）
則cos30°=

m • n

| m || n |

=

3 1+λ +1

2 1+ 3 (1+λ)2

，
注意到λ＞0，解得λ=2為所求．（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，棱錐的體積，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系將直線與平面夾角及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答此類問題的關(guān)鍵．