Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，其中常數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極值點；

（Ⅱ）令，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點處的切線方程為當時，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“特殊點”，請你探究當時，函數(shù)是否存在“特殊點”，若存在，請最少求出一個“特殊點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點.

(Ⅱ) ；（Ⅲ）是一個特殊點的橫坐標.

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)的中的運用。確定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值點，和函數(shù)的最值問題的綜合運用。

（1）由于當a=4時，解析式確定，求解導數(shù)，判定單調(diào)性，可以知道函數(shù)的 極值點的問題。

（2）因為令，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，說明了函數(shù)F(x)在給定區(qū)間的導數(shù)恒大于等于零，來分離參數(shù)得到取值范圍。

（3）根據(jù)新的定義“特殊點”的理解，然后給定參數(shù)a的值為4，結(jié)合第一問的結(jié)論，分析可知是否有滿足題意的特殊點，主要是借助于導數(shù)分析單調(diào)性得到。

(Ⅰ)當時，=

當時，，即在上單調(diào)遞增；

當時，，即在上單調(diào)遞減，

所以為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點.         ……4分

(Ⅱ)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需滿足對恒成立                      ………………6分

即對恒成立

所以                                       ………………………8分

（Ⅲ）由題意：當時，，

則在點P處切線的斜率

所以

                   ………………………10分

令，

則

當時，在上單調(diào)遞減.時，從而有時，

當時，在上單調(diào)遞減，從而有時，                             ………………………12分

在上不存在“特殊點”.當時，

在上是增函數(shù)，故是一個特殊點的橫坐標.