Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調(diào)性；（2）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=g（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x₁、x₂總有不等式成立，則稱函數(shù)y=g（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
試證明：當a=-1時，為“凹函數(shù)”．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，應注意函數(shù)的定義域，同時進行合理分類；（2）新定義關鍵是理解“凹函數(shù)”的定義，然后驗證所求函數(shù)滿足新定義．
解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)；     …（1分）
由已知，x∈（0，+∞），，…（3分）
當a＞0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；      …（4分）
當a＜0時，解得，解f'（x）＜0得，
所以函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．…（5分）
綜上，當a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
（2）當a=-1時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以，x∈（0，+∞）．…（6分）
設x₁，x₂∈（0，+∞），
計算，，
因為，所以，，…（8分），所以，…（10分）
所以，即當a=-1時，為“凹函數(shù)”．
點評：本題是一道創(chuàng)新型題，屬于難度系數(shù)較大的題目．近幾年的高考命題，由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)化，強化創(chuàng)新意識的考查，設計了一些“對新穎的信息、情景和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性的解決問題”的創(chuàng)新題．