Question

【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)為2，并且當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

令g（x）=xf（x），由導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)，再根據(jù)題意得到函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，由此可得函數(shù)g（x）的圖象，結(jié)合圖象可得所求的范圍．

令g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），

∵當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0，

∴函數(shù)g（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減．

∵g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），

∴g（x）在R是奇函數(shù)．

∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為2，

即g（x）在區(qū)間（0，+∞）上的唯一零點(diǎn)為2，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）單調(diào)遞增，在（﹣1，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

且g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，

畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象，如下圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）＜0，即xf（x）＜0，可得0≤x＜2；

當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）＜0，即xf（x）＞0，可得﹣2＜x＜0．

綜上的取值范圍是（﹣2，2）．

故選A．