Question

某次足球賽共有12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行：

（1）小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈剩球數(shù)取前兩名；

（2）半決賽：甲組的第一名與乙組的第二名，乙組的第一名與甲組的第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽（每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)）決出勝者；

（3）決賽：兩個(gè)勝者參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù).問(wèn)全部賽程共需比賽多少場(chǎng)？

Answer 1

思路解析：本題考查利用組合數(shù)公式分析解決問(wèn)題的能力.合理分類(lèi)是解答本題的關(guān)鍵.

解：（1）小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場(chǎng)次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽2C=2×=30（場(chǎng)）.

（2）半決賽中甲組第一名與乙組第二名（乙組的第一名與甲組的第二名）主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)，所需比賽的場(chǎng)次即為從2個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)，所以半決賽共要比賽2A=2×1×2=4（場(chǎng)）.

（3）決賽只需比賽一場(chǎng)，即可決出勝負(fù).

所以全部賽程共需比賽30+4+1=35（場(chǎng)）.

方法歸納  明確“怎樣才算完成一件事情”是正確解答排列與組合問(wèn)題的關(guān)鍵.若一個(gè)事件恰好與一個(gè)排列或一個(gè)組合相對(duì)應(yīng)，則所求事件的個(gè)數(shù)就是排列數(shù)或組合數(shù).熟記一些常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)則顯得尤為關(guān)鍵了.如，一條直線與平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；一個(gè)平面與不共線的三個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；一個(gè)四面體與不共面的四點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).