Question

求證:如果一條直線和兩個相交的平面都平行,那么這條直線和它們的交線平行.

已知:如圖,α∩β=l,a∥α,a∥β.

求證:a∥l.

Answer 1

解析:證明本題可以利用線面平行的性質(zhì)定理,可用同一法.

證法一:過a作平面γ交平面α于b,

∵a∥α,∴a∥b.同樣,過a作平面ξ交平面β于C.

∵a∥β,∴a∥C.∴b∥C.

    又∵bβ且Cβ,∴b∥β.

    又平面α經(jīng)過b交β于l.

∴b∥l,且a∥b.∴a∥l.

證法二:在l上任取一點A,過A和a作平面和α相交于l₁,和β相交于l₂.

∵a∥α,∴a∥l₁.

∵a∥β,∴a∥l₂.

    但過一點只能作一條直線與另一條直線平行,

∴l(xiāng)₁與l₂重合.

    又∵l₁α,l₂β,

∴l(xiāng)₁和l₂重合于l.

∴a∥l.

點評:(1)應用線面平行的性質(zhì)定理時,應著力尋找過已知直線的平面與已知平面的交線,有時為了得到交線還需作出輔助平面.

(2)證法二用到了結(jié)論“過空間直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行”，且本證法是“同一法”.