Question

（本小題滿分15分）如圖，設(shè)P是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)做圓的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn)。

   （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離。

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處得切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

   （Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞�C₁的準(zhǔn)線方程為：

       所以圓心M到拋物線C₁準(zhǔn)線的距離為：

   （Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線C₁在點(diǎn)P處的切線交直線于點(diǎn)D。

       再設(shè)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為

       過(guò)點(diǎn)的拋物線C₁的切線方程為：

                （1）

       當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（1，1）與圓C₂的切線PA為：

       可得

       當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（—1，1）與圓C₂的切線PA為：

       可得

      

       所以

       設(shè)切線PA，PB的斜率為，則

                    （2）

          （3）

       將分別代入（1），（2），（3）得

      

       從而

       又

       即

       同理，

       所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而

       因?yàn)?sub>

       所以

       從而

       進(jìn)而得

       綜上所述，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為