Question

（2012•資陽(yáng)二模）如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE，F(xiàn)為CD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，可證四邊形EFGA為平行四邊形，AE⊥平面ABC，AE∥BD，可證得BD⊥平面ABC，
繼而可證得AG⊥平面BCD，由線面垂直的性質(zhì)即可證得EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，可求得C、D、E、A的坐標(biāo)，從而可求得

CD

=（-

3

a，a，2a），

ED

=（0，2a，a），設(shè)面CDE的法向量

m1

=（x，y，z），由

m1 • CD =- 3 ax+ay+2az=0 m1 • ED =2az+az=0

可取得

m1

=（

3

，-1，2），取面ABDE的法向量

m2

=（1，0，0），利用向量的夾角公式即可求得面角C-DE-A的大�。�

解答：證明：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)G點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，
∵F，G分別為DC，BC中點(diǎn)，
∴FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，
∴EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G為 BC中點(diǎn)，且AC=AB，
∴AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（6分）
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O和DE的中點(diǎn)H，分別以O(shè)C、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，則C（

3

a，0，0），D（0，a，2a），E（0，-a，a），A（0，-a，0），

CD

=（-

3

a，a，2a），

ED

=（0，2a，a）．
設(shè)面CDE的法向量

m1

=（x，y，z），則

m1 • CD =- 3 ax+ay+2az=0 m1 • ED =2az+az=0

取

m1

=（

3

，-1，2），（8分）
取面ABDE的法向量

m2

=（1，0，0），（10分）
由cos＜

m1

，

m2

＞=

m1 • m2

| m1 |•| m2 |

=

3

( 3 )2+(-1)2+22×1

=

6

4

，
故二面角C-DE-A的大小為arccos

6

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本體考查直線與平面垂直的判定，考查二面角的平面角及求法，突出考查線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查向量法解決立體幾何問(wèn)題，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．