已知數(shù)列中,,為數(shù)列的前項(xiàng)和,且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)的和;
(3)證明對一切,有
(1);(2);(3)證明過程詳見解析.

試題分析:本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式、裂項(xiàng)相消法、數(shù)學(xué)歸納法、錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問,用n-1代替中的n,得到一個(gè)等式,2個(gè)等式相減,得到,分n為奇數(shù)偶數(shù)進(jìn)行討論,分別求出的通項(xiàng)公式,由于得到的式子相同,所以的通項(xiàng)公式就是;第二問,要求數(shù)列的前n項(xiàng)和,關(guān)鍵是需要求出的通項(xiàng)公式,可以利用已知的遞推公式進(jìn)行推導(dǎo),也可以利用數(shù)學(xué)歸納法猜想證明,得到的通項(xiàng)公式后,代入到中,得到的通項(xiàng)公式,最后用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和;第三問,先用放縮法對原式進(jìn)行變形,再用裂項(xiàng)相消法求和,最后和作比較.
試題解析:(1)由已知,,,
由題意,即,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.
所以.4分
(2)解法一:由已知,對
兩邊同除以,得,即,
于是,==
,,所以=,
,,又時(shí)也成立,故,.
所以,8分
解法二:也可以歸納、猜想得出,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(3)當(dāng),有
所以時(shí),有

=.
當(dāng)時(shí),.故對一切,有.14分;2.錯(cuò)位相減法;3.數(shù)學(xué)歸納法;4.裂項(xiàng)相消法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在公差不為0的等差數(shù)列中,,且成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知,且對一切都成立.
(1)若λ=1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求λ的值,使數(shù)列是等差數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,設(shè).

(1)求證數(shù)列的前n項(xiàng)和;
(2)若對一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)是公比大于的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,且,,構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令求數(shù)列的前項(xiàng)和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則中最大的是()
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知表示數(shù)列的前項(xiàng)的和,若對任意滿足
=(    )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的通項(xiàng)公式為,
設(shè)若在數(shù)列中,對任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是                      

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列,若點(diǎn)均在直線上,則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于(  )
A.16B.18C.20D.22

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