Question

【題目】(2015·江蘇）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為了l1, l2 ， 山區(qū)邊界曲線為C ， 計(jì)劃修建的公路為l ， 如圖所示，M ， N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1, l2 的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1, l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1, l2所在的直線分別為x ， y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy ， 假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=（其中a ， b為常數(shù)）模型.

（1）求a ， b的值；
（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.
①請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫(xiě)出其定義域；
②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】
（1）

a=1000, b=0

（2）

①f(t)=,定義域?yàn)閇5,20]②t=10, f(t)min=15千米。

【解析】由題意得函數(shù)y= 過(guò)點(diǎn)位(5,40), (20, 2.5)，列方程組就可解當(dāng)a. b的值(2) ①求公路了長(zhǎng)度的函數(shù)解析式}I川，就是求出直線l與x，y軸交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可， 關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出直線了方程，再根據(jù)M， N為C的兩個(gè)端點(diǎn)的限制條件得定義域?yàn)閇5,20]②對(duì)函數(shù)解析式f(t)解析式根式內(nèi)部分單獨(dú)求導(dǎo)求最值，注意列表說(shuō)明函數(shù)變化趨勢(shì).
試題解析:(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5,40），（20, 2.5）。將其代入y=,得, 解得a=1000, b=0 。
（2） ①由（1）知， y=(5≤x≤20), 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,), 設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x, y軸分別于A,B點(diǎn)，y=-， 則l的方程為y-=-(x-t), 由此得A（,0), B(0, ).
故f(t)==,t(5,20),
②設(shè)g(t)=t2+, 則g'(t)=2t-. 令g'(t)=0，解得t=10. 當(dāng)t(5,10)時(shí)，g'(t)<0， g(t)是減函數(shù)。
當(dāng)t(10,20), g'(t)>0， g(t)是減函數(shù)。從而， 當(dāng)t=10時(shí), 函數(shù)g(t)有極小值，要是最小值，所以 g(t)min=300, 此時(shí)f(t)min=15。
答：當(dāng)t=10時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短, 最短長(zhǎng)度為15千米。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲导纯梢越獯鸫祟}．