如圖,在四棱錐中,底面,底面是平行四邊形,, 是 的中點。

(1)求證:;
(2)求證:
(3)若,求二面角 的余弦值.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)

試題分析:(1)連接AC交BD于F,連接EF,由ABCD是平行四邊形,知F為AC的中點,由E為SC的中點,知SA∥EF,由此能夠證明SA∥平面BDE.
(2)由AB=2,AD=,∠BAD=30°,利用余弦定理得BD=1,由AD2+BD2=AB2,知AD⊥BD.由此能夠證明AD⊥SB.
(3)以DA為x軸,以DB為y軸,以DS為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能夠求出二面角E-BD-C的余弦值.
試題解析:(1)證明:連接AC交BD于F,連結(jié)EF,由ABCD是平行四邊形,知F為AC的中點,又E為SC的中點,所以SA∥EF,∵SAË平面BDE,EFÌ平面BDE,
∴SA∥平面BDE.     4分
(2)由AB=2,AD=,∠BAD=30°,由余弦定理得

   ∴AD⊥BD.
∵SD⊥平面ABCD,ADÌ平面ABCD,
∴AD⊥SD,
∴AD⊥平面SBD,又SBÌ平面SBD,
∴AD⊥SB.     8分
(3)取CD的中點G,連結(jié)EG,F(xiàn)G,

則EG⊥平面BCD,且EG=1,F(xiàn)G∥BC,且FG=
∵AD⊥BD, AD∥BC,∴FG⊥BD,又∵EG⊥BD ∴BD⊥平面EFG,
∴BD⊥EF,故∠EFG是二面角E—BD—C的平面角
在Rt△EFG中  
.     12分
練習冊系列答案
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