Question

（本小題滿分9分）

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

（1）求四棱錐S-ABCD的體積.

（2）求證：面SAB⊥面SBC.

（3）求SC與底面ABCD所成角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）  V_S-ABCD=××1= ；（2）見解析；（3）tan∠SCA===。

【解析】(1)根據(jù)梯形的面積公式及四棱錐的體積公式直接求值即可.

（2）先由SA⊥面ABCD,可得SA⊥BC，再由AB⊥BC ,得BC⊥平面SAB，從而證得平面SAB⊥平面SBC.

(3)找到線面角是解決問題的關(guān)鍵.連接AC    ∵SA⊥面ABCD

∴∠SCA為SC與底面ABCD所成的角,然后解三角形即可.

證明：（1）S_梯形ABCD=（AD+BC）·AB=（+1）×1=

  V_S-ABCD=××1= ……………2分

（2）∵SA⊥面ABCD  ∴SA⊥BC……………………………………3分

又AB⊥BC    ∴BC⊥平面SAB

∴平面SAB⊥平面SBC……………………………………5分

（3）連接AC    ∵SA⊥面ABCD

∴∠SCA為SC與底面ABCD所成的角……………………………………7分

在Rt△ABC中，AC==

在Rt△SAC中，tan∠SCA===……………………………………9分