Question

如圖，在直角坐標系xoy中，坐標原點O（0，0），以動直線l：y=mx+n（m，n∈R）為軸翻折，使得每次翻折后點O都落在直線y=2上．
（1）求以（m，n）為坐標的點的軌跡G的方程；
（2）過點E（0，

5

4

）作斜率為k的直線交軌跡G于M，N兩點；（�。┊�+MN|=3時，求M，N兩點的縱坐標之和；（ⅱ）問是否存在直線，使△OMN的面積等于某一給定的正常數，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）因為每次翻折后點O都落在直線y=2上．所以消參法求軌跡方程．
（2）（ⅰ）可先設出直線MN方程為y=kx+

5

4

，與（1）中所得軌跡方程聯立，得到帶參數k的一元二次方程，再用弦長公式求MN長，所求長度等于3，則得到關于k的方程，在解方程，即可得到k值進而求出M，N縱坐標之和．
（ⅱ）先假設存在直線，使△OMN的面積等于某一給定的正常數，再通過計算△OMN的面積，來判斷假設是否正確．

解答：解：（1）設點O翻折后的坐標為（x₀，2），當x₀≠0時，有

mx0

2

+n=1，

2

x0

• m=-1，消去x₀，得，
n=m²+1．
當x₀=0時，得m=0，n=1．
綜上，動點的軌跡方程為y=x²+1．
（2）（�。┰O過點E（0，

5

4

）作斜率為k的直線方程y=kx+

5

4

，M（x₁，y₁，），N（x₂，y₂），
由

y=x2+1   y=kx+ 5 4

得，x²-kx-

1

4

=0
x₁+x₂=k，x₁x₂=-

1

4

．
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=1+k²=3，∴k²=2．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+

5

2

=k²+

5

2

=

9

2

（ⅱ）O點到直線y=kx+

5

4

的距離d=

5

4 1+ k2

，使△OMN的面積S=

1

2

|MN|d=

5

8

1+k2

≥

5

8

a＞

5

8

時，存在兩條直線滿足條件
a=

5

8

時，存在一條直線滿足條件
a＜

5

8

時，不存在直線滿足條件．

點評：本題主要考查了消參法求軌跡方程，以及弦長公示的利用，計算量較大，須認真計算，避免出錯．