Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（　�。�

• A．y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱
• B．y=f(x)的圖象關(guān)于x=

  π

  2

  對(duì)稱
• C．f(x)的最大值為

  3

  2

• D．f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱或關(guān)于某條直線對(duì)稱的公式，對(duì)A、B兩項(xiàng)加以驗(yàn)證，可得它們都正確．根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，得f（x）=2sinx（1-sin²x），再換元：令t=sinx，得到關(guān)于t的三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值為

4 3

9

，故C不正確；根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗(yàn)證，可得D項(xiàng)正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對(duì)于A，因?yàn)閒（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=-cosxsin2x，
f（π-x）=cos（π-x）sin（2π-2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π-x）=0，
可得y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)閒（

π

2

+x）=cos（

π

2

+x）sin（π+2x）=-sinx（-sin2x）=sinxsin2x，
f（

π

2

-x）=cos（

π

2

-x）sin（π-2x）=sinxsin2x，所以f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），
可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，化簡(jiǎn)得f（x）=cosxsin2x=2cos²xsinx=2sinx（1-sin²x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1-t²），-1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1-t²）的導(dǎo)數(shù)g'（t）=2-6t²=2（1+

3

t）（1-

3

t）
∴當(dāng)t∈（-1，-

3

3

）時(shí)或t∈（

3

3

，1）時(shí)g'（t）＜0，函數(shù)g（t）為減函數(shù)；
當(dāng)t∈（-

3

3

，

3

3

）時(shí)g'（t）＞0，函數(shù)g（t）為增函數(shù)．
因此函數(shù)g（t）的最大值為t=-1時(shí)或t=

3

3

時(shí)的函數(shù)值，
結(jié)合g（-1）=0＜g（

3

3

）=

4 3

9

，可得g（t）的最大值為

4 3

9

．
由此可得f（x）的最大值為

4 3

9

而不是

3

2

，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)閒（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．
因?yàn)閒（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π為函數(shù)的一個(gè)周期，得f（x）為周期函數(shù)．可得f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，得D正確．
綜上所述，只有C項(xiàng)不正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性．著重考查了三角恒等變換公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于中檔題．