Question

m=-2是直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直的

 

條件．

Answer 1

分析：由題意得：f（x）在x=1處得切線斜率為：-

1

2

m2-

1

2

 m，討論當(dāng)m=-1與m=2兩種情況討論直線x+（m+1）y=2-m的斜率，由兩條直線的關(guān)系進(jìn)而求出m的值．

解答：解：由題意得：f（x）的導(dǎo)數(shù)是f′（x）=-

1

2

m2x2-

1

2

m
所以f（x）在x=1處得切線斜率為：-

1

2

m2-

1

2

 m
當(dāng)m=-1時直線x+（m+1）y=2-m的斜率不存在，且切線的斜率為0，
此時兩條直線相互垂直．
當(dāng)m≠-1時直線x+（m+1）y=2-m的斜率為-

1

m+1

因?yàn)橹本�x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直
所以(-

1

m+1

)×(-

1

2

m2-

1

2

m)=-1
解得m=2
所以直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直時m=-1或m=2．
所以m=-2是直線x+（m+1）y=2-m與f(x)=-

1

6

m2x3-

1

2

mx在x=1處的切線垂直的充分不必要條件．
故答案為充分不必要條件．

點(diǎn)評：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線并且在表達(dá)直線的斜率時要注意斜率是否存在，這是直線這塊常出錯的地方．