【題目】如圖所示,某地出土的一種“釘”是由四條線段組成,其結構能使它任意拋至水平面后,總有一端所在的直線豎直向上.并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為,釘尖為.
(1)判斷四面體的形狀,并說明理由;
(2)設,當在同一水平面內時,求與平面所成角的大。ńY果用反三角函數值表示);
(3)若該“釘”著地后的四個線段根據需要可以調節(jié)與底面成角的大小,且保持三個線段與底面成角相同,若,,問為何值時,的體積最大,并求出最大值.
【答案】(1)正四面體;理由見解析(2);(3)當時,最大體積為:;
【解析】
(1)根據線段等長首先確定為四面體外接球球心;又底面,可知為正三棱錐;依次以為頂點均有正三棱錐結論出現(xiàn),可知四面體棱長均相等,可知其為正四面體;(2)由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角;設正四面體棱長為,利用表示出各邊,利用勾股定理構造方程可求得,從而可求得,進而得到結果;(3)取中點,利用三線合一性質可知,從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高,根據三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數,利用導數求得函數的最大值,并確定此時的取值,從而得到結果.
(1)四面體為正四面體,理由如下:
四條線段等長,即到四面體四個頂點距離相等 為四面體外接球的球心
又底面 在底面的射影為的外心
四面體為正三棱錐,即,
又任意拋至水平面后,總有一端所在的直線豎直向上,若豎直向上
可得:
可知四面體各條棱長均相等 為正四面體
(2)由(1)知,四面體為正四面體,且為其外接球球心
設中心為,則平面,如下圖所示:
即為與平面所成角
設正四面體棱長為
則,
在中,,解得:
即與平面所成角為:
(3)取中點,連接,
,為中點 且
,
令,,則
設,,則
令,解得:,
當時,;當時,
當時,取極大值,即為最大值:
即當時,取得最大值,最大值為:
此時,即
綜上所述,當時,體積最大,最大值為:
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某大型高端制造公司為響應《中國制造2025》中提出的堅持“創(chuàng)新驅動、質量為先、綠色發(fā)展、結構優(yōu)化、人才為本”的基本方針,準備加大產品研發(fā)投資,下表是該公司2017年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產品銷量(萬臺)的具體數據:
(1)根據數據可知與之間存在線性相關關系
(i)求出關于的線性回歸方程(系數精確到);
(ii)若2018年6月份研發(fā)投人為25百萬元,根據所求的線性回歸方程估計當月產品的銷量;
(2)公司在2017年年終總結時準備從該年8~12月份這5個月中抽取3個月的數據進行重點分析,求沒有抽到9月份數據的概率.
參考數據: ,.
參考公式:對于一組數據,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: ,.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知全集為R,函數f(x)=lg(1﹣x)的定義域為集合A,集合B={x|x2﹣x﹣6>0}.
(Ⅰ)求A∪B;
(Ⅱ)若C={x|m﹣1<x<m+1},C(A∩(RB)),求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨著我國互聯(lián)網信息技術的發(fā)展,網絡購物已經成為許多人消費的一種重要方式,某市為了了解本市市民的網絡購物情況,特委托一家網絡公示進行了網絡問卷調查,并從參與調查的10000名網民中隨機抽取了200人進行抽樣分析,得到了下表所示數據:
經常進行網絡購物 | 偶爾或從不進行網絡購物 | 合計 | |
男性 | 50 | 50 | 100 |
女性 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 110 | 90 | 200 |
(1)依據上述數據,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該市市民進行網絡購物的情況與性別有關?
(2)現(xiàn)從所抽取的女性網民中利用分層抽樣的方法再抽取人,從這人中隨機選出人贈送網絡優(yōu)惠券,求出選出的人中至少有兩人是經常進行網絡購物的概率;
(3)將頻率視為概率,從該市所有的參與調查的網民中隨機抽取人贈送禮物,記經常進行網絡購物的人數為,求的期望和方差.
附:,其中
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠生產不同規(guī)格的一種產品,根據檢測標準,其合格產品的質量與尺寸之間近似滿足關系式為大于0的常數).按照某項指標測定,當產品質量與尺寸的比在區(qū)間內時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取6件合格產品,測得數據如下:
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
質量與尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.367 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(I)現(xiàn)從抽取的6件合格產品中再任選3件,記為取到優(yōu)等品的件數,試求隨機變量的分布列和期望;
(II)根據測得數據作了初步處理,得相關統(tǒng)計量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(i)根據所給統(tǒng)計量,求關于的回歸方程;
(ii)已知優(yōu)等品的收益(單位:千元)與的關系為,則當優(yōu)等品的尺寸為何值時,收益的預報值最大? (精確到0.1)
附:對于樣本, 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)的定義域為(-2,2),函數g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數g(x)的定義域;
(2)若f(x)是奇函數,且在定義域上單調遞減,求不等式g(x)≤0的解集.
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