選修4-4：極坐標與參數(shù)方程
極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，曲線C2的極坐標方程為ρsinθ=a（a＞0），射線θ=φ，θ=φ+
π
4
，θ=φ-
π
4
，θ=
π
2
+φ與曲線C1分別交異于極點O的四點A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲線C1關于曲線C2對稱，求a的值，并把曲線C1和C2化成直角坐標方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．
分析：（Ⅰ）把C1、把C2的方程化為直角坐標方程，根據(jù)因為曲線C1關于曲線C2對稱，可得直線y=a經過圓心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐標方程．
（Ⅱ）由題意可得，|OA|=2
2
sin(φ+
π
4
)； |OB|=2
2
sin(φ+
π
2
)=2
2
cosφ； |OC|=2
2
sinφ；|OD|=2
2
sin(φ+
3π
4
)=2
2
cos（
π
4
+φ），再根據(jù)|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+
π
4
）sinφ+8cos（
π
4
+φ）cosφ=8cos
π
4
，計算求得結果．
解答：解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2
2
ρ（
2
2
sinθ+
2
2
cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化為直角坐標方程為 （x-1）2+（y-1）2=2．
把C2的方程化為直角坐標方程為 y=a，因為曲線C1關于曲線C2對稱，故直線y=a經過圓心（1，1），
解得a=1，故C2的直角坐標方程為 y=1．
（Ⅱ）由題意可得，|OA|=2
2
sin(φ+
π
4
)； |OB|=2
2
sin(φ+
π
2
)=2
2
cosφ； |OC|=2
2
sinφ；|OD|=2
2
sin(φ+
3π
4
)=2
2
cos（
π
4
+φ），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+
π
4
）sinφ+8cos（
π
4
+φ）cosφ=8cos[（
π
4
+φ）-φ]=8×
2
2
=4
2
．
點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，兩角和差的余弦公式，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t為參數(shù)），若以直角坐標系xoy 的O點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（θ-
π
4
）．直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分
A．選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
 （ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 參數(shù)）．求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標．
B．選修4-5：不等式選講
設實數(shù)x，y，z 滿足x+y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值，并求此時x，y，z 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC
交于點D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•遼寧）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xoy中以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1與C2交點的極坐標；
（Ⅱ）設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點，已知直線PQ的參數(shù)方程為
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R為參數(shù)），求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：
坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系x0y中，曲線C1為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數(shù)）．
在以0為原點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線C2的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C1的交點為A，ι與C2除極點外的一個交點為B．當α=0時，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐標方程；
（2）若過點P（1，0）且斜率為
3
的直線m與曲線C1交于D、E兩點，求|PD|與|PE|差的絕對值．

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