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已知函數f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常數．

(1)求函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線l的方程；

(2)證明函數y＝f(x)(x≠)的圖象在(1)中切線l的下方；

(3)討論函數y＝f(x)零點的個數．

答案：
解析：

　　(1)，；1分，所以切線的方程為，即；2分．

　　(2)作，；3分，則

　　，解得；4分．

　　5分

　　所以且，，，即函數()的圖像在直線的下方；6分．

　　(3)有零點，即有解，；7分

　　，解得；8分，

　　類似(1)列表討論知，即若有零點，則；若，則無零點；9分．

　　若，，由⑴知有且僅有一個零點；10分

　　若，單調遞增，由冪函數與對數函數單調性比較知有且僅有一個零點(或：直線與曲線有一個交點)；11分

　　若，解得，類似⑴列表討論知，在處取最大值；12分，

　　，由冪函數與對數函數單調性比較知，當充分大時，即在單調遞減區(qū)間有且僅有一個零點；13分；

　　又因為，所以在單調遞增區(qū)間有且僅有一個零點，綜上所述，當時，無零點；當或時，有且僅有一個零點；當時，有兩個零點；14分．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當a≥時，函數t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

(3)當x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2014屆湖北省大治二中高二3月聯(lián)考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；

 

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科目：高中數學 來源：2012年陜西省高二下期第一次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于P的直線方程．

 

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科目：高中數學 來源：新課標高三數學導數專項訓練（河北） 題型：解答題

已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

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科目：高中數學 來源：新課標高三數學導數專項訓練（河北） 題型：解答題

已知函數f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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