Question

設(shè)函數(shù)的定義域是,其中常數(shù).(注:
(1)若,求的過原點(diǎn)的切線方程.
(2)證明當(dāng)時(shí),對(duì),恒有.
(3)當(dāng)時(shí),求最大實(shí)數(shù),使不等式對(duì)恒成立.

Answer 1

(1)切線方程為和.(2)詳見解析.(3)的最大值是6.

試題分析：(1)一般地，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.注意，此題是求過原點(diǎn)的切線，而不是求在原點(diǎn)處切線方程，而該曲線又過原點(diǎn)，故有原點(diǎn)為切點(diǎn)和原點(diǎn)不為切點(diǎn)兩種情況.當(dāng)原點(diǎn)不為切點(diǎn)時(shí)需把切點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來.(2)不等式可化為，要證明這個(gè)不等式，只需利用導(dǎo)數(shù)求出在上的值域即可.
(3)令,則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.注意到,所以如果在單調(diào)增,則必有對(duì)恒成立.下面就通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.
試題解析：(1).若切點(diǎn)為原點(diǎn),由知切線方程為;
若切點(diǎn)不是原點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為,由于,故由切線過原點(diǎn)知,在內(nèi)有唯一的根.
又,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)當(dāng)時(shí),令,則,故當(dāng)時(shí)恒有,即 在單調(diào)遞減,故對(duì)恒成立.
又,故,即,此即

(3)令,則,且,顯然有,且 的導(dǎo)函數(shù)為

若,則,易知對(duì)恒成立,從而對(duì)恒有,即在單調(diào)增,從而對(duì)恒成立,從而在單調(diào)增,對(duì)恒成立.
若,則,存在,使得對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,再由知存在,使得對(duì)恒成立,再由便知不能對(duì)恒成立.
綜上所述,所求的最大值是6.