Question

已知動點(diǎn)P（x，y）滿足log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1．
（1）求x，y所滿足的等量關(guān)系式；
（2）求|x|-|y|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先考慮對數(shù)式有意義，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．另一方面，log₄（x+2y）（x-2y）=1=log₄4，得到：x²-4y²=4．兩者結(jié)合即得x，y所滿足的等量關(guān)系式；
（2）設(shè)|x|-|y|=t，則|x|=|y|+t，t＞0，將其代入|x|²-4|y|²=4得|y|²-2t|y|-t²+4=0利根的判別式△≥0求得t的取值范圍，從而得出|x|-|y|的最小值．

解答：解：（1）由已知，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．
另一方面，log₄（x+2y）（x-2y）=1=log₄4，故（x+2y）（x-2y）=4，即x²-4y²=4．
∴x²-4y²=4（x＞2|y|）．
（2）設(shè)|x|-|y|=t，則|x|=|y|+t，t＞0，將其代入|x|²-4|y|²=4得
|y|²-2t|y|-t²+4=0．①
∴△=4t²-12（4-t²）=16（t²-3）≥0．
注意到t＞0，故t≥

3

．
將t=

3

代入方程①，解得|y|=

3

3

，故|x|=

4 3

3

＞2|y|，于是|x|-|y|的最小值是

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的最值及其幾何意義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．