Question

（2006•豐臺(tái)區(qū)一模）四邊形ABCD是梯形，

AB

•

AD

=0，

AB

與

CD

共線，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），C、D是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BC與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的另一交點(diǎn)為P，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E于M，N兩點(diǎn)，求四邊形CMPN面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AB

•

AD

=0，

AB

與

CD

共線可知四邊形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，對(duì)稱軸為x軸的拋物線．由此能求出動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BC方程y=k（x-1），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設(shè)P（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出四邊形CMPN面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由

AB

•

AD

=0，

AB

與

CD

共線可知，
四邊形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，
對(duì)稱軸為x軸的拋物線．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程y²=2px（p＞0），
則p=|AB|=2
所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線BC斜率為k，
由題意知，k存在且k≠0，
直線BC的方程y=k（x-1）
依題意

y=k(x-1) y2=4x

，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
|PC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(1+k2)

k2

直線MN垂直于直線BC，
以-

1

k

替代上式中的k，得|MN|=4（k²+1）…（7分）
∴S四邊形CMPN=

1

2

|PC|•|BN|+

1

2

|PC|•|BM|
=

1

2

|PC|(|BN|+|BM|)
=

1

2

|PC|•|MN|
=

1

2

•

4(1+k2)

k2

•4(1+k2)
=8•

k4+2k2+1

k2

=8(k2+

1

k2

+2)
∵k2+

1

k2

≥2∴8(k2+

1

k2

+2)≥32
四邊形CMPN面積的最小值等于32． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是圓錐曲線知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．